Выпуски УФМ $\rightarrow$ Том 20, выпуск 4

Моделирование решёток двумерных квазикристаллов

В. В. Гиржон, А. В. Смоляков

Запорожский национальный университет, ул. Жуковского 66, 69600, Запорожье, Украина

Получена 14.06.2019; окончательный вариант — 10.10.2019 Скачать: PDF logo PDF

Предложен способ моделирования квазипериодических структур, в основе которого лежит алгоритм, являющийся геометрической интерпретацией числовых последовательностей типа последовательности Фибоначчи. Моделирование заключается в рекуррентном размножении базисных групп узлов, имеющих ротационную симметрию 10-го, 8-го или 12-го порядка. Преимуществом предлагаемого способа является возможность оперировать координатами только двумерного пространства, а не гипотетических пространств с размерностью, большей трёх. Показано соответствие между методом проецирования периодических решёток и методом рекуррентного размножения групп базисных узлов. Установлено, что шестимерную обратную решётку для декагональных квазикристаллов можно получить из ортогональной шестимерной решётки для икосаэдрических квазикристаллов с помощью изменения масштаба вдоль одного из базисных векторов и запрета на проецирование узлов, для которых сумма пяти индексов (соответствующих другим базисных векторам) не равна нулю. Показана достаточность использования только трёх индексов для описания дифрактограм от квазикристаллов с осями симметрии 10-го, 8-го и 12-го порядков. Оригинальный алгоритм даёт возможность непосредственного получения информации об интенсивности дифракционных рефлексов по количеству самоналожений узлов в процессе построения обратных решёток квазикристаллов.

Ключевые слова: квазипериодические структуры, последовательность Фибоначчи, метод проецирования, базисные векторы, ротационная симметрия, обратная решётка.

Citation: V. V. Girzhon and O. V. Smolyakov, Modelling of Lattices of Two-Dimensional Quasi-Crystals, Prog. Phys. Met., 20, No. 4: 551–583 (2019); doi: 10.15407/ufm.20.04.551

Цитированная литература (53)  
    1. J. W. Cahn, D. Shechtman, and D. Gratias, J. Mater. Res., 1, No. 1: 30 (1986). Crossref
    2. А. Katz and М. Duneau, Scr. Metall., 20, No. 9: 1211 (1986). Crossref
    3. D. Levine and P. J. Steinhardt, Phys. Rev. B, 34, No. 2: 596 (1986). Crossref
    4. S. Ebalard and F. Spaepen, J. Mater. Res., 4, No. 1: 39 (1989). Crossref
    5. J. Socolar, Phys. Rev. B, 39, No. 15: 10519 (1989). Crossref
    6. W. Bogdanowicz, Cryst. Res. Technol., 38, Nos. 3–5: 307 (2003). Crossref
    7. W. Bogdanowicz, Cryst. Res. Technol., 40, Nos. 4–5: 488 (2005). Crossref
    8. D. A. Shulyatev, Crystallogr. Rep., 52, No. 6: 938 (2007). Crossref
    9. W. Steurer, T. Haibach, and B. Zhang, Acta Cryst. B, 49: 661 (1993). Crossref
    10. A. Yamamoto and K. N. Ishihara, Acta Cryst. A, 44: 707 (1988). Crossref
    11. P. Schall, M. Feuerbacher, and K. Urban, Phys. Rev. B, 69, No. 13: 134105 (2004). Crossref
    12. Y. Yan, R. Wang, J. Gui, and M. Dai, Acta Cryst., 49: 435 (1993). Crossref
    13. X. B. Liu, G. C. Yang, J. F. Fan, and G. S. Song, J. Mater. Sci. Lett., 22, No. 2: 103 (2003). Crossref
    14. X. B. Liu, J. Mater. Sci., 38, No. 5: 885 (2003). Crossref
    15. G. Rosas, C. Angeles-Chavez, and R. Perez, J. New Mater. Electrochem. Syst., 8: 149 (2005).
    16. M. Boström and S. Hovmöller, Solid State Chem., 153, No. 2: 398 (2000). Crossref
    17. Z. M. Mo and K. H. Kuo, Mater. Sci. Eng., 294–296: 242 (2000). Crossref
    18. Y. Vekilov and M. Chernikov, Phys.-Usp., 53: 537 (2010). Crossref
    19. J. S. Wu and K. H. Kuo, Metall. Mater. Trans. A, 28, No. 3: 729 (1997). Crossref
    20. V. Elser, Phys. Rev. B, 32, No. 8: 4892 (1985). Crossref
    21. V. V. Girzhon, V. M. Kovalyova, O. V. Smolyakov, and M. I. Zacharenko, J. Non-Cryst. Solids, 358: 137 (2012). Crossref
    22. V. V. Girzhon, O. V. Smolyakov, and I. V. Gayvoronsky, Sposib Modelyuvannya Struktury Dodekagonalnykh Kvazykrystaliv: Patent No. 80699 MPK G09B 23/26 G09B 23/06 (Patent na korysnu model No. 11) (2012) (in Ukrainian).
    23. V. V. Girzhon, O. V. Smolyakov, and M. I. Zakharenko, ZhETF, 5, No. 11: 973 (2014). Crossref
    24. O. V. Smolyakov and V. V. Girzhon, ZhETF, 3, No. 9: 521 (2017). Crossref
    25. V. V. Girzhon, O. V. Smolyakov, and I. V. Gayvoronsky, Visnyk Lvivskogo Universytetu. Seriia Fizychna, 54: 13 (2017).
    26. S. Ritsch, Philos. Mag. Lett., 74, No. 2: 99 (1996). Crossref
    27. S. A. Ranganathan, E. A. Lord, N. K. Mukhopadhyay, and A. Singh, Acta Cryst. A, 63, No. 1: 1 (2007). Crossref
    28. J. Dubois, Useful Quasicrystals (Singapore–London: World Scientific: 2005).
    29. M. A. Bicknell, The Fibonacci Quart, 13, No. 4: 345 (1975).
    30. S. Burkov, Phys. Rev. B, 47: 12325 (1993). Crossref
    31. W. Steurer and S. Deloudi Crystallography of Quasicrystals: Concepts, Methods and Structures (London–New York: Springer: 2009).
    32. R. Amman, B. Grünbaum, and G. Shephard, Discrete & Computational Geometry, 8, No. 1: 1 (1992).
    33. F. P. N. Beenker, Algebraic Theory of Non-Periodic Tilings of the Plane by Two Simple Building Blocks: a Square and a Rhombus (Eindhoven: Eindhoven University of Technology: 1982).
    34. C. Janot, Quasicrystals (Oxford: Oxford Clarendon Press: 1994).
    35. Y. Roichman and D. Grier, Holographic Assembly of Quasicrystalline Photonic Heterostructures (New York: Department of Physics and Center for Soft Matter Research: 2005).
    36. W. Steurer and S. Deloudi, Crystallography of Quasicrystals: Concepts, Methods and Structures (London–New York: Springer: 2009).
    37. D. Levine, P. Steinhardt, Phys. Rev. Lett., 53: 2477 (1984). Crossref
    38. K. Kuo, J. Non-Cryst. Solids, 117–118: 756 (1990). Crossref
    39. H. Chen, D. X. Li, and K. H. Kuo, Phys. Rev. Lett., 60, No. 16: 1645 (1988). Crossref
    40. T. Ishimasa, H.-U. Nissen, and Y. Fukano, Phys. Rev. Lett., 55, No. 5: 511 (1985). Crossref
    41. K. Yoshida, T. Yamada, and Y. Taniguchi, Acta Cryst. B, 45: 40 (1989). Crossref
    42. M. Uchida and S. Horiuchi, J. Appl. Cryst., 31: 634 (1998). Crossref
    43. H. Iga, M. Mihalkovic, and T. Ishimasa, Philos. Mag., 91, Nos. 19–21: 2624 (2011). Crossref
    44. X. Zeng, G. Ungar, Y. Liu, V. Percec, A. E. Dulcey, and J. K. Hobbs, Nature, 428: 157 (2004). Crossref
    45. S. Fischer, A. Exner, K. Zielske, J. Perlich, S. Deloudi, W. Steurer, P. Lindner, and S. Förster, Proc. Natl. Acad. Sci. U.S.A., 108, No. 5: 1810 (2011). Crossref
    46. K. Hayashida, T. Dotera, and A. Takano, Phys. Rev. Lett., 98, No. 19: 195502 (2007). Crossref
    47. A. E. Madison, Struct. Chem., 26, No. 4: 923 (2015). Crossref
    48. S. Iwami and T. Ishimasa, Philos. Mag. Lett., 95, No. 4: 229 (2015). Crossref
    49. M. Conrad, F. Krumeich, and B. Harbrecht, Angew. Chem. Int. Ed., 37, No. 10: 1383 (1998). Crossref
    50. B. Souvignier, Acta Cryst. A, 59: 210 (2003). Crossref
    51. P. A. Bancel, Phys. Rev. Lett., 54, No. 22: 2422 (1985). Crossref
    52. F. Gähler, Quasicrystalline Materials. Proc. I.L.L. / Codest Workshop, Grenoble, 21–25 March 1988 (Singapore: World Scientific: 1988), p. 272.
    53. S. Förster, K. Meinel, R. Hammer, M. Trautmann, and W. Widdra, Nature, 502: 215 (2013). Crossref

Лицензия Creative Commons
Эта статья доступна по Лицензии Creative Commons “Attribution-NoDerivatives” («атрибуция — без производных статей») 4.0 Всемирная
© Институт металлофизики им. Г. В. Курдюмова НАН Украины, 2019